मान लीजिए [x],x in R का पूर्णांक भाग दर्शाता | vedclass

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Question

(C) दिया गया है कि $g(x) = x - [x] = \{x\}$,जो $x$ का भिन्नात्मक भाग दर्शाता है।चूँकि $f(x)$ सतत है और $f(0) = f(1)$ है,संयुक्त फलन $h(x) = f(\{x\})$

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$R$ पर सतत है

Vedclass · Answer

(C) दिया गया है कि $g(x) = x - [x] = \{x\}$,जो $x$ का भिन्नात्मक भाग दर्शाता है।चूँकि $f(x)$ सतत है और $f(0) = f(1)$ है,संयुक्त फलन $h(x) = f(\{x\})$ सभी $x \in R$ के लिए परिभाषित है।किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए,जैसे ही $x 	o n^+$,$g(x) 	o 0^+$,इसलिए $h(x) 	o f(0)$।जैसे ही $x 	o n^-$,$g(x) 	o 1^-$,इसलिए $h(x) 	o f(1)$।चूँकि $f(0) = f(1)$,किसी भी पूर्णांक $n$ पर बाएँ हाथ की सीमा और दाएँ हाथ की सीमा बराबर हैं और $f(0)$ के बराबर हैं,जो कि $h(n) = f(0)$ का मान भी है।अतः,$h(x)$ सभी पूर्णांकों $n$ पर सतत है,और चूँकि यह अंतरालों $(n, n+1)$ पर सतत फलनों का संयोजन है,इसलिए यह $R$ पर सतत है।

मान लीजिए $[x]$,$x \in R$ का पूर्णांक भाग दर्शाता है। $g(x) = x - [x]$ है। मान लीजिए $f(x)$ एक सतत फलन है जहाँ $f(0) = f(1)$ है। तब फलन $h(x) = f(g(x))$:

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