मान लीजिए $x$ और $y$ वास्तविक संख्याएँ हैं जो समीकरण $x^2 - 4x + y^2 + 3 = 0$ को संतुष्ट करती हैं। यदि $x^2 + y^2$ के अधिकतम और न्यूनतम मान क्रमशः $M$ और $m$ हैं,तो $M - m$ का संख्यात्मक मान क्या है?

वृत्त $x^{2}+y^{2}=1$ की उन जीवाओं के मध्य-बिंदुओं का बिंदुपथ क्या है, जो मूल बिंदु पर समकोण अंतरित करती हैं?

$t \in (0, 2\pi)$ के लिए,यदि $ABC$ एक समबाहु त्रिभुज है जिसके शीर्ष $A(\sin t, -\cos t)$,$B(\cos t, \sin t)$ और $C(a, b)$ हैं,और इसका लंबकेंद्र $(1, 1/3)$ केंद्र वाले वृत्त पर स्थित है,तो $(a^2 - b^2)$ का मान ज्ञात कीजिए।

एक चर सीधी रेखा $AB$,वृत्त $x^2 + y^2 = 25$ की परिधि को $1 : 2$ के अनुपात में विभाजित करती है। यदि छोटे चाप पर $AB$ के समानांतर एक स्पर्शरेखा $CD$ खींची जाती है,जिससे $ABCD$ एक आयत बन जाता है,तो $C$ और $D$ का बिंदु पथ (locus) क्या है?

माना $T'$ बिंदु $P(-2, 7)$ और $Q(2, -5)$ से गुजरने वाली रेखा है। माना $F_1$ वृत्तों के सभी युग्मों $(S_1, S_2)$ का समुच्चय है,जैसे कि $T'$,$S_1$ को $P$ पर और $S_2$ को $Q$ पर स्पर्श करती है,और $S_1$ तथा $S_2$ एक-दूसरे को बिंदु $M$ पर स्पर्श करते हैं। माना $E_1$,$M$ का बिंदुपथ है जैसे-जैसे $(S_1, S_2)$,$F_1$ में परिवर्तित होता है। माना $E_1$ के दो भिन्न बिंदुओं को जोड़ने वाले और बिंदु $R(1, 1)$ से गुजरने वाले सभी रेखाखंडों का समुच्चय $F_2$ है। माना $E_2$,$F_2$ में रेखाखंडों के मध्य-बिंदुओं का समुच्चय है। तो,निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन $TRUE$ है/हैं?

माना वृत्त $x^2+y^2+6x-4y-12=0$ पर खींची गई लंबवत स्पर्श रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का बिंदुपथ वृत्त $S$ है। तो $S$ पर खींची गई उस स्पर्श रेखा का समीकरण क्या होगा जो रेखा $6x-4y+k=0$ के लंबवत है?