मान लीजिए $P(n) : 3^n < n!$ जहाँ $n \in N$,$n \geq \lambda$ के लिए सत्य है। $\lambda$ का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।

सिद्ध कीजिए कि सभी $n \in N$ के लिए,$3^{2n+2} - 8n - 9$,$8$ से विभाज्य है,गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके।

गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि सभी $n \in N$ के लिए:
$7^{n}-3^{n}$,$4$ से विभाज्य है।

गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि सभी प्राकृतिक संख्याओं $n > 1$ के लिए $\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \ldots + \frac{1}{2n} > \frac{13}{24}$ है।

सभी $n \in \mathbb{N}$ के लिए,यदि $1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2 > x$ है,तो $x=$

$n$ के प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक मान के लिए,${3^n} > {n^3}$ कब होता है?