मान लीजिए f(x) = max {sin^{-1}x, cos^{-1}x} ह | vedclass

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Question

(A) फलन $y = \sin^{-1}x$ और $y = \cos^{-1}x$ वहाँ प्रतिच्छेद करते हैं जहाँ $\sin^{-1}x = \cos^{-1}x$ होता है। चूँकि $\sin^{-1}x + \cos^{-1}x = \frac{\

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$\frac{3\pi}{2} - \sqrt{2}$

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(A) फलन $y = \sin^{-1}x$ और $y = \cos^{-1}x$ वहाँ प्रतिच्छेद करते हैं जहाँ $\sin^{-1}x = \cos^{-1}x$ होता है। चूँकि $\sin^{-1}x + \cos^{-1}x = \frac{\pi}{2}$,इसलिए $2\sin^{-1}x = \frac{\pi}{2}$,जिसका अर्थ है $\sin^{-1}x = \frac{\pi}{4}$,अतः $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$। $x \in [-1, \frac{1}{\sqrt{2}}]$ के लिए,$\cos^{-1}x \ge \sin^{-1}x$,इसलिए $f(x) = \cos^{-1}x$। $x \in [\frac{1}{\sqrt{2}}, 1]$ के लिए,$\sin^{-1}x \ge \cos^{-1}x$,इसलिए $f(x) = \sin^{-1}x$। क्षेत्रफल $A = \int_{-1}^{1/\sqrt{2}} \cos^{-1}x \, dx + \int_{1/\sqrt{2}}^{1} \sin^{-1}x \, dx$ है। $\int \cos^{-1}x \, dx = x\cos^{-1}x - \sqrt{1-x^2}$ और $\int \sin^{-1}x \, dx = x\sin^{-1}x + \sqrt{1-x^2}$ का उपयोग करने पर: $A = [x\cos^{-1}x - \sqrt{1-x^2}]_{-1}^{1/\sqrt{2}} + [x\sin^{-1}x + \sqrt{1-x^2}]_{1/\sqrt{2}}^{1}$ गणना करने पर $A = \frac{3\pi}{2} - \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।

मान लीजिए $f(x) = \max \{\sin^{-1}x, \cos^{-1}x\}$ है। तो $x = -1$,$x = 1$,$y = f(x)$ और $y = 0$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

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वृत्तों $x^{2}+y^{2}=4$ और $x^{2}+(y-2)^{2}=4$ के बीच घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:

$x \in \left[ \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} \right]$ के लिए वक्रों $y = \sin^{-1}(\cos x)$ और $y = \cos^{-1}(\sin x)$ द्वारा घिरा हुआ क्षेत्रफल है:

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वक्रों $x = -2y^2$ और $x = 1 - 3y^2$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) है

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