मान लीजिए f : X rightarrow Y एक फलन है जैसे क | vedclass

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Question

(B) $f(x)$ का प्रांत $x-2 \ge 0$ और $4-x \ge 0$ द्वारा निर्धारित होता है,जो $x \in [2,4]$ देता है।परिसर ज्ञात करने के लिए,मान लीजिए $y = \sqrt{x-2} +

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$[3,4]$ और $[\sqrt{2},2]$

Vedclass · Answer

(B) $f(x)$ का प्रांत $x-2 \ge 0$ और $4-x \ge 0$ द्वारा निर्धारित होता है,जो $x \in [2,4]$ देता है।परिसर ज्ञात करने के लिए,मान लीजिए $y = \sqrt{x-2} + \sqrt{4-x}$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$y^2 = (x-2) + (4-x) + 2\sqrt{(x-2)(4-x)} = 2 + 2\sqrt{-x^2+6x-8}$।पद $-x^2+6x-8$ का अधिकतम मान $x=3$ पर $1$ है। अतः,$y^2 \in [2, 4]$,जिसका अर्थ है $y \in [\sqrt{2}, 2]$।$f(x)$ को एकैकी होने के लिए,फलन को एकदिष्ट (monotonic) होना चाहिए। फलन $f(x)$ अंतराल $[2,3]$ पर वर्धमान और $[3,4]$ पर ह्रासमान है।इसलिए,$f(x)$ अंतराल $[2,3]$ या $[3,4]$ पर एकैकी है।दोनों अंतरालों $[2,3]$ और $[3,4]$ पर,फलन का परिसर $[\sqrt{2}, 2]$ है।अतः,$f(x)$ के एकैकी और आच्छादक दोनों होने के लिए,$X$ का मान $[2,3]$ या $[3,4]$ हो सकता है,और $Y$ का मान $[\sqrt{2}, 2]$ होना चाहिए।विकल्पों की तुलना करने पर,विकल्प $B$ सही उत्तर है।

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यदि $f(x) = \begin{cases} [x], & -3 < x \leq -1 \\ |x|, & -1 < x < 1 \\ |[x]|, & 1 \leq x < 3 \end{cases}$ है, तो समुच्चय $\{x : f(x) \geq 0\}$ किसके बराबर है?

सिद्ध कीजिए कि एक आच्छादक फलन $f: \{1, 2, 3\} \rightarrow \{1, 2, 3\}$ सदैव एकैकी होता है।

$f: R \rightarrow R$ द्वारा परिभाषित फलन $f(x) = x^2$ की एकैकी (injectivity) और आच्छादक (surjectivity) की जाँच कीजिए।

$f(x) = \log \left( \left( \frac{2x^2 - 3}{x} \right) + \sqrt{\frac{4x^4 - 11x^2 + 9}{|x|}} \right)$ है

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