मान लीजिए f(x) = max(sin x, cos x) और g(x) = | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि $h(y) = f(x)y^2 + ay + g(x) = 0$ के सभी $x \in R$ के लिए वास्तविक मूल हैं।इसका अर्थ है कि विविक्तकर (discriminant) $D \geq 0$ है।$D

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$a \in (-\infty, -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}, \infty)$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है कि $h(y) = f(x)y^2 + ay + g(x) = 0$ के सभी $x \in R$ के लिए वास्तविक मूल हैं।इसका अर्थ है कि विविक्तकर (discriminant) $D \geq 0$ है।$D = a^2 - 4f(x)g(x) \geq 0 \Rightarrow a^2 \geq 4f(x)g(x)$।चूंकि $f(x) = \max(\sin x, \cos x)$ और $g(x) = \min(\sin x, \cos x)$ है,उनका गुणनफल $f(x)g(x) = \sin x \cos x$ है।अतः,$a^2 \geq 4 \sin x \cos x = 2 \sin(2x)$।सभी $x \in R$ के लिए इसे सत्य होने हेतु,$a^2$ को $2 \sin(2x)$ के अधिकतम मान से बड़ा या उसके बराबर होना चाहिए।$2 \sin(2x)$ का अधिकतम मान $2$ है।इसलिए,$a^2 \geq 2$,जिसका अर्थ है कि $|a| \geq \sqrt{2}$।अतः,$a \in (-\infty, -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}, \infty)$।

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