मान लीजिए $\left| \begin{array}{ccc} (a-x)^2 & (a-y)^2 & (a-z)^2 \\ (b-x)^2 & (b-y)^2 & (b-z)^2 \\ (c-x)^2 & (c-y)^2 & (c-z)^2 \end{array} \right| = \frac{-351}{8}$. यदि $x, y, z$ समीकरण $8t^3 - 62t^2 + 43t - 7 = 0$ के मूल हैं और $a, b, c$ भिन्न संख्याएँ हैं,तो $|(a-b)(b-c)(c-a)|$ का मान ज्ञात कीजिए।

माना $x \in R$ और $P = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$,$Q = \begin{bmatrix} 2 & x & x \\ 0 & 4 & 0 \\ x & x & 6 \end{bmatrix}$ और $R = PQP^{-1}$ है। तो निम्नलिखित में से कौन सा/से विकल्प सही है/हैं?
$(1)$ $x = 1$ के लिए,एक ऐसा इकाई सदिश $\alpha \hat{i} + \beta \hat{j} + \gamma \hat{k}$ मौजूद है जिसके लिए $R \begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ है।
$(2)$ एक ऐसी वास्तविक संख्या $x$ मौजूद है जिसके लिए $PQ = QP$ है।
$(3)$ $\det R = \det \begin{bmatrix} 2 & x & x \\ 0 & 4 & 0 \\ x & x & 5 \end{bmatrix} + 8$,सभी $x \in R$ के लिए।
$(4)$ $x = 0$ के लिए,यदि $R \begin{bmatrix} 1 \\ a \\ b \end{bmatrix} = 6 \begin{bmatrix} 1 \\ a \\ b \end{bmatrix}$ है,तो $a + b = 5$ है।

यदि $A$ और $B$ समान कोटि के वर्ग आव्यूह हैं,जहाँ $AB = A$ और $BA = B$ है,तो $(A + I)^5$ का मान ज्ञात कीजिए (जहाँ $I$ तत्समक आव्यूह है)।

यदि $A$ और $B$ ऐसे $3 \times 3$ आव्यूह हैं कि $AB = A$ और $BA = B$,तो

यदि $P$ और $Q$ दो $3 \times 3$ आव्यूह इस प्रकार हैं कि $|PQ|=1$ और $|P|=9$,तो $\text{adj}(P \cdot \text{adj}(3Q))$ का सारणिक ज्ञात कीजिए।

$\left\{0, 1, 2\right\}$ से प्रविष्टियों वाले कितने $3 \times 3$ आव्यूह $M$ हैं,जिनके लिए $M^T M$ के विकर्ण प्रविष्टियों का योग $5$ है?