मान लीजिए कि f, f', f'' अंतराल [0, ln 2] में | vedclass

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Question

(B) हम समाकलन $I = \int_{0}^{\ln 2} e^{-2x} f''(x) dx$ के लिए खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करेंगे।माना $u = e^{-2x}$ और $dv = f''(x) d

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$13$

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(B) हम समाकलन $I = \int_{0}^{\ln 2} e^{-2x} f''(x) dx$ के लिए खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करेंगे।माना $u = e^{-2x}$ और $dv = f''(x) dx$ है। तब $du = -2e^{-2x} dx$ और $v = f'(x)$ होगा।$\int u dv = uv - \int v du$ सूत्र का उपयोग करने पर:$I = [e^{-2x} f'(x)]_{0}^{\ln 2} - \int_{0}^{\ln 2} f'(x) (-2e^{-2x}) dx$$I = [e^{-2\ln 2} f'(\ln 2) - e^{0} f'(0)] + 2 \int_{0}^{\ln 2} e^{-2x} f'(x) dx$चूंकि $e^{-2\ln 2} = e^{\ln(2^{-2})} = \frac{1}{4}$ है,इसलिए:$I = [\frac{1}{4}(4) - 1(3)] + 2 \int_{0}^{\ln 2} e^{-2x} f'(x) dx = (1 - 3) + 2 \int_{0}^{\ln 2} e^{-2x} f'(x) dx = -2 + 2 \int_{0}^{\ln 2} e^{-2x} f'(x) dx$ है।अब,$\int_{0}^{\ln 2} e^{-2x} f'(x) dx$ का पुनः खंडशः समाकलन करने पर:माना $u = e^{-2x}$ और $dv = f'(x) dx$ है। तब $du = -2e^{-2x} dx$ और $v = f(x)$ होगा।$\int_{0}^{\ln 2} e^{-2x} f'(x) dx = [e^{-2x} f(x)]_{0}^{\ln 2} - \int_{0}^{\ln 2} f(x) (-2e^{-2x}) dx$$= [e^{-2\ln 2} f(\ln 2) - e^{0} f(0)] + 2 \int_{0}^{\ln 2} e^{-2x} f(x) dx$$= [\frac{1}{4}(6) - 0] + 2(3) = 1.5 + 6 = 7.5$ है।इस मान को $I$ के समीकरण में रखने पर:$I = -2 + 2(7.5) = -2 + 15 = 13$।

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