मान लीजिए कि एक रेखा L बिंदु P(2, 3, 1) से गु | vedclass

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Question

(B) रेखा का दिशा सदिश $\vec{v}$,समतलों $x + 3y - 2z - 2 = 0$ और $x - y + 2z = 0$ के अभिलंबों के क्रॉस गुणनफल द्वारा प्राप्त होता है।$\vec{v} = \begin{

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$158$

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(B) रेखा का दिशा सदिश $\vec{v}$,समतलों $x + 3y - 2z - 2 = 0$ और $x - y + 2z = 0$ के अभिलंबों के क्रॉस गुणनफल द्वारा प्राप्त होता है।$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 1 & 3 & -2 \ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(6 - 2) - \hat{j}(2 + 2) + \hat{k}(-1 - 3) = 4\hat{i} - 4\hat{j} - 4\hat{k}$.हम दिशा सदिश को $\vec{d} = (1, -1, -1)$ ले सकते हैं।बिंदु $P(2, 3, 1)$ से गुजरने वाली रेखा $L$ का समीकरण $\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 3}{-1} = \frac{z - 1}{-1} = k$ है।रेखा पर कोई भी बिंदु $R$,$(k + 2, -k + 3, -k + 1)$ है।मान लीजिए $Q = (5, 3, 8)$ है। सदिश $\vec{QR} = (k + 2 - 5, -k + 3 - 3, -k + 1 - 8) = (k - 3, -k, -k - 7)$ है।चूंकि $\vec{QR}$ रेखा की दिशा $(1, -1, -1)$ के लंबवत है,इसलिए:$1(k - 3) - 1(-k) - 1(-k - 7) = 0 \Rightarrow k - 3 + k + k + 7 = 0 \Rightarrow 3k + 4 = 0 \Rightarrow k = -\frac{4}{3}$.सदिश $\vec{QR} = (-\frac{4}{3} - 3, -(-\frac{4}{3}), -(-\frac{4}{3}) - 7) = (-\frac{13}{3}, \frac{4}{3}, -\frac{17}{3})$ है।दूरी $\alpha = |\vec{QR}| = \sqrt{(-\frac{13}{3})^2 + (\frac{4}{3})^2 + (-\frac{17}{3})^2} = \sqrt{\frac{169 + 16 + 289}{9}} = \sqrt{\frac{474}{9}}$.अतः,$\alpha^2 = \frac{474}{9}$.इसलिए,$3\alpha^2 = 3 	imes \frac{474}{9} = \frac{474}{3} = 158$.

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दो रेखाएँ $L_1: x=5, \frac{y}{3-\alpha}=\frac{z}{-2}$ और $L_2: x=\alpha, \frac{y}{-1}=\frac{z}{2-\alpha}$ समतलीय हैं। तो $\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।

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