मान लीजिए कि वक्र $9x^2 + 16y^2 = 144$ की एक स्पर्श रेखा निर्देशांक अक्षों को बिंदुओं $A$ और $B$ पर काटती है। तो,रेखाखंड $AB$ की न्यूनतम लंबाई $.........$ है।

$15 \ cm$ लंबाई की एक छड़ $AB$ दो निर्देशांक अक्षों के बीच इस प्रकार रखी गई है कि अंतिम बिंदु $A$,$x-$अक्ष पर और अंतिम बिंदु $B$,$y-$अक्ष पर स्थित है। छड़ पर एक बिंदु $P(x, y)$ इस प्रकार लिया गया है कि $AP = 6 \ cm$ है। दर्शाइए कि $P$ का बिंदुपथ एक दीर्घवृत्त (ellipse) है।

दीर्घवृत्त $\left( \frac{x - 3}{y} \right)^2 + \left( 1 - \frac{4}{y} \right)^2 = \frac{1}{9}$ की उत्केंद्रता (eccentricity) ज्ञात कीजिए।

दीर्घवृत्त $4x^2 + 9y^2 = 36$ पर एक बिंदु,जहाँ अभिलंब रेखा $4x - 2y - 5 = 0$ के समांतर है,है

$(-4,0)$ और $(4,0)$ पर नाभियों वाले और $(3 \sqrt{2}, \sqrt{10})$ से गुजरने वाले दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता ज्ञात कीजिए।

कथन $(A)$: एक दीर्घवृत्त के नाभिलंब (latus rectum) की लंबाई $4$ है। इसकी नाभि और इसकी संगत नियता (directrix) क्रमशः $(1, -2)$ और $3x + 4y - 15 = 0$ हैं। तब इसकी उत्केंद्रता (eccentricity) $\frac{1}{2}$ है।
कारण $(R)$: दीर्घवृत्त की नाभि से उसकी संगत नियता पर खींचे गए लंब की लंबाई $\frac{a(1 - e^2)}{e}$ होती है।
तब निम्नलिखित में से कौन सा सही है?