ધારો કે f : R to R એ f(x) = ln(x + sqrt{x^2 + | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$.ધારો કે $y = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$.તેથી $e^y = x + \sqrt{x^2 + 1}$.વળી,$e^{-y} = \frac{1}{x + \sqrt

Vedclass · Accepted Answer

$2$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$.ધારો કે $y = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$.તેથી $e^y = x + \sqrt{x^2 + 1}$.વળી,$e^{-y} = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}} = \sqrt{x^2 + 1} - x$.બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $e^y - e^{-y} = 2x$,જે સૂચવે છે કે $x = \frac{e^y - e^{-y}}{2} = \sinh(y)$.આમ,$f^{-1}(x) = \sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$.આપણે $|f^{-1}(x)| = e^{-|x|}$ ના ઉકેલોની સંખ્યા શોધવાની છે,જે $|\sinh(x)| = e^{-|x|}$ છે.બંને બાજુઓ યુગ્મ વિધેયો હોવાથી,આપણે $x \ge 0$ માટે ચકાસી શકીએ: $\sinh(x) = e^{-x}$.$x = 0$ આગળ,$\sinh(0) = 0$ અને $e^0 = 1$,તેથી $0 
eq 1$.જેમ $x$ વધે છે,$\sinh(x)$ એ $0$ થી $\infty$ સુધી ચુસ્ત રીતે વધે છે,અને $e^{-x}$ એ $1$ થી $0$ સુધી ચુસ્ત રીતે ઘટે છે.તેથી,$x > 0$ માટે બરાબર એક છેદનબિંદુ મળે છે.સંમિતિ દ્વારા,$x આમ,કુલ $2$ ઉકેલો છે.

ધારો કે $f : R \to R$ એ $f(x) = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. તો $|f^{-1}(x)| = e^{-|x|}$ ના ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?

Similar Questions

ધારો કે $f(x) = (x + 1)^2 - 1$ જ્યાં $x \ge -1$. તો ગણ $S = \{ x : f(x) = f^{-1}(x) \}$ શું છે?

ધારો કે $f: R - \{-\frac{4}{3}\} \rightarrow R$ એ $f(x) = \frac{4x}{3x+4}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત વિધેય છે. $f$ નું પ્રતિવિધેય $g: \text{Range } f \rightarrow R - \{-\frac{4}{3}\}$ એ નીચે મુજબ છે:

ધારો કે $f(x)=(x+1)^2-1, x \geq-1$. તો $\{x \mid f(x)=f^{-1}(x)\} =$

જો $f: R \rightarrow R$ એ $f(x)=2x+3$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત હોય,તો $f^{-1}(x)$

જો $f(x) = (2x - 3\pi)^5 + \frac{4}{3}x + \cos x$ અને $g$ એ $f$ નું પ્રતિવિધેય હોય,તો $g'(2\pi) = ?$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module