मान लीजिए कि ग्यारह अक्षर A, B, dots, K पूर्ण | vedclass

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Question

(C) पूर्णांकों का समुच्चय $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11\}$ है।इस समुच्चय में $6$ विषम संख्याएँ $\{1, 3, 5, 7, 9, 11\}$ और $5$ सम संख्याएँ $

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हमेशा सम

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(C) पूर्णांकों का समुच्चय $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11\}$ है।इस समुच्चय में $6$ विषम संख्याएँ $\{1, 3, 5, 7, 9, 11\}$ और $5$ सम संख्याएँ $\{2, 4, 6, 8, 10\}$ हैं।मान लीजिए गुणनफल $P = \prod_{i=1}^{11} (X_i - i)$ है, जहाँ $X_i$, $S$ का एक क्रमचय है।सभी पदों का योग $\sum_{i=1}^{11} (X_i - i) = \sum X_i - \sum i = 0$ है।$11$ पूर्णांकों का योग $0$ (जो एक सम संख्या है) होने के लिए, योग में विषम पदों की संख्या सम होनी चाहिए।चूँकि $11$ विषम है, यदि सभी पद विषम होते तो योग विषम होता। अतः, गुणनफल में कम से कम एक पद सम होना चाहिए।वैकल्पिक रूप से, समता (parity) पर विचार करें: समुच्चय में $6$ विषम संख्याएँ हैं। गुणनफल में, हम $11$ संख्याओं में से $11$ संख्याओं को घटा रहे हैं। पिजनहोल सिद्धांत (Pigeonhole Principle) के अनुसार, चूँकि $6$ विषम संख्याएँ घटाई जा रही हैं, इसलिए कम से कम एक विषम संख्या को दूसरी विषम संख्या से घटाया जाना चाहिए, जिससे परिणाम एक सम संख्या प्राप्त होगी।इसलिए, कम से कम एक गुणनखंड $(X_i - i)$ सम होना चाहिए, जिससे पूरा गुणनफल सम हो जाता है।

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