मान लीजिए कि बिंदु $(1, 2, 4)$ से रेखा $\frac{x+2}{4} = \frac{y-1}{2} = \frac{z+1}{3}$ पर डाले गए लंब का पाद $P$ है। तो समतल $3x + 4y + 12z + 23 = 0$ से $P$ की दूरी ज्ञात कीजिए।

मूल बिंदु से $\sqrt{\frac{2}{21}}$ की दूरी पर स्थित उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए,जो समतलों $x-y-z-1=0$ और $2x+y-3z+4=0$ की प्रतिच्छेदन रेखा से होकर गुजरता है:

यदि रेखा $\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-2}{4}$ समतल $x+2y+3z=15$ को बिंदु $P$ पर मिलती है,तो मूल बिंदु से $P$ की दूरी क्या है?

समतलों $x+y+z=1$ और $3x+4y+5z=2$ की प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले और $XY$-समतल के लंबवत समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

मूल बिंदु से गुजरने वाली और समतल $2x + 4y - 5z = 10$ पर लंब रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

रेखा $\vec{r} = (\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) + \lambda(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ और समतल $\vec{r} \cdot (2\hat{i} + p\hat{j} + \hat{k}) = 8$ के बीच का न्यून कोण $\theta$ सूत्र $\sin \theta = \frac{|\vec{b} \cdot \vec{n}|}{|\vec{b}| |\vec{n}|}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $\vec{b} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{n} = 2\hat{i} + p\hat{j} + \hat{k}$ है। यदि $\theta = \sin^{-1} \left( \frac{\sqrt{2}}{3} \right)$ है, तो $p$ का/के मान है/हैं: