मान लीजिए कि समतल ax + by + cz = d,(2, 3, -5) | vedclass

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Question

(D) अभीष्ट समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,दिए गए समतलों के अभिलंब सदिशों $\vec{n_1} = 2\hat{i} + \hat{j} - 5\hat{k}$ और $\vec{n_2} = 3\hat{i} + 5\hat{j

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$22$

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(D) अभीष्ट समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,दिए गए समतलों के अभिलंब सदिशों $\vec{n_1} = 2\hat{i} + \hat{j} - 5\hat{k}$ और $\vec{n_2} = 3\hat{i} + 5\hat{j} - 7\hat{k}$ के लंबवत है।अतः,$\vec{n} = \vec{n_1} 	imes \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 2 & 1 & -5 \ 3 & 5 & -7 \end{vmatrix} = \hat{i}(-7 + 25) - \hat{j}(-14 + 15) + \hat{k}(10 - 3) = 18\hat{i} - \hat{j} + 7\hat{k}$.समतल का समीकरण $18x - y + 7z = d$ है।चूंकि समतल $(2, 3, -5)$ से गुजरता है,हमारे पास $18(2) - (3) + 7(-5) = d$ है,जो $36 - 3 - 35 = d$ देता है,इसलिए $d = -2$.समतल का समीकरण $18x - y + 7z = -2$ या $-18x + y - 7z = 2$ है।इसे $ax + by + cz = d$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = -18, b = 1, c = -7, d = 2$ प्राप्त होता है।चूंकि $	ext{gcd}(|-18|, |1|, |-7|, 2) = 1$ और $d > 0$ है,ये मान सही हैं।अंत में,$a + 7b + c + 20d = -18 + 7(1) + (-7) + 20(2) = -18 + 7 - 7 + 40 = 22$.

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