ધારો કે બિંદુ $P$ એ પરવલય $y = x^2 - 6x + 12$ નું શિરોબિંદુ છે. જો બિંદુ $P$ માંથી પસાર થતી એક રેખા વર્તુળ $x^2 + y^2 - 2x - 4y + 3 = 0$ ને બિંદુઓ $R$ અને $S$ માં છેદે, તો $(PR + PS)^2$ નું મહત્તમ મૂલ્ય કેટલું થાય?

$n \in N$ માટે,ધારો કે $S_{n} = \{ z \in C : |z - 3 + 2i| = \frac{n}{4} \}$ અને $T_{n} = \{ z \in C : |z - 2 + 3i| = \frac{1}{n} \}$. તો ગણ ${ n \in N : S_{n} \cap T_{n} = \phi }$ માં ઘટકોની સંખ્યા કેટલી થાય?

આપેલ છે: એક વર્તુળ $2x^2 + 2y^2 = 5$ અને પરવલય $y^2 = 4\sqrt{5}x$.
વિધાન-$1$: આ વક્રો માટે સામાન્ય સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = x + \sqrt{5}$ છે.
વિધાન-$2$: જો રેખા $y = mx + \frac{\sqrt{5}}{m} (m \neq 0)$ તેમનો સામાન્ય સ્પર્શક હોય,તો $m$ એ $m^4 - 3m^2 + 2 = 0$ નું સમાધાન કરે છે.

જો રેખાઓ $2x + y + 12 = 0$ અને $kx - 3y - 10 = 0$ એ વર્તુળ $x^2 + y^2 - 4x + 3y - 1 = 0$ ના સાપેક્ષમાં સંયુગ્મી (conjugate) હોય,તો $k =$

વર્તુળ $C_1: x^2+y^2=3$,જેનું કેન્દ્ર $O$ છે,તે પરવલય $x^2=2y$ ને પ્રથમ ચરણમાં બિંદુ $P$ પર છેદે છે. ધારો કે $P$ આગળ વર્તુળ $C_1$ ને સ્પર્શક અન્ય બે વર્તુળો $C_2$ અને $C_3$ ને અનુક્રમે $R_2$ અને $R_3$ પર સ્પર્શે છે. ધારો કે $C_2$ અને $C_3$ ની ત્રિજ્યા સમાન $2\sqrt{3}$ છે અને તેમના કેન્દ્રો અનુક્રમે $Q_2$ અને $Q_3$ છે. જો $Q_2$ અને $Q_3$ એ $y$-અક્ષ પર આવેલા હોય,તો:
$(A)$ $Q_2Q_3=12$
$(B)$ $R_2R_3=4\sqrt{6}$
$(C)$ ત્રિકોણ $OR_2R_3$ નું ક્ષેત્રફળ $6\sqrt{2}$ છે
$(D)$ ત્રિકોણ $PQ_2Q_3$ નું ક્ષેત્રફળ $4\sqrt{2}$ છે

જો વર્તુળ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ પરના કોઈ બિંદુથી,વર્તુળ $x^2+y^2+2gx+2fy+c \sin^2 \alpha + (g^2+f^2) \cos^2 \alpha = 0$ પર સ્પર્શકો દોરવામાં આવે,જ્યાં $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$,તો તે સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો કેટલો થાય?