मान लीजिए कि एक त्रिभुज के शीर्षों A, B और C | vedclass

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Question

(B) शीर्ष $A(2, 2, 1)$,$B(1, 2, 2)$,और $C(2, 1, 2)$ हैं।भुजाओं की लंबाई की गणना करें:$AB = \sqrt{(1-2)^2 + (2-2)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{1+0+1} = \sqrt{2

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$\frac{1}{2}$

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(B) शीर्ष $A(2, 2, 1)$,$B(1, 2, 2)$,और $C(2, 1, 2)$ हैं।भुजाओं की लंबाई की गणना करें:$AB = \sqrt{(1-2)^2 + (2-2)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{1+0+1} = \sqrt{2}$$BC = \sqrt{(2-1)^2 + (1-2)^2 + (2-2)^2} = \sqrt{1+1+0} = \sqrt{2}$$CA = \sqrt{(2-2)^2 + (2-1)^2 + (1-2)^2} = \sqrt{0+1+1} = \sqrt{2}$चूंकि $AB = BC = CA = \sqrt{2}$,त्रिभुज समबाहु है।एक समबाहु त्रिभुज के लिए,लंबकेंद्र $H$ केंद्रक $G$ के साथ संपाती होता है।$G = \left(\frac{2+1+2}{3}, \frac{2+2+1}{3}, \frac{1+2+2}{3}ight) = \left(\frac{5}{3}, \frac{5}{3}, \frac{5}{3}ight)$.समबाहु त्रिभुज में,केंद्रक से किसी भी भुजा पर लंब की लंबाई,केंद्रक से उस भुजा के मध्य बिंदु तक की दूरी होती है।भुजा $AB$ के लिए,मध्य बिंदु $D$ है $\left(\frac{2+1}{2}, \frac{2+2}{2}, \frac{1+2}{2}ight) = \left(\frac{3}{2}, 2, \frac{3}{2}ight)$.$l_1 = 	ext{दूरी } GD = \sqrt{\left(\frac{5}{3}-\frac{3}{2}ight)^2 + \left(\frac{5}{3}-2ight)^2 + \left(\frac{5}{3}-\frac{3}{2}ight)^2}$$l_1 = \sqrt{\left(\frac{1}{6}ight)^2 + \left(-\frac{1}{3}ight)^2 + \left(\frac{1}{6}ight)^2} = \sqrt{\frac{1}{36} + \frac{4}{36} + \frac{1}{36}} = \sqrt{\frac{6}{36}} = \sqrt{\frac{1}{6}}$.चूंकि त्रिभुज समबाहु है,$l_1 = l_2 = l_3 = \sqrt{\frac{1}{6}}$.अतः,$l_1^2 + l_2^2 + l_3^2 = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

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