मान लीजिए कि संबंध rho, mathbb{R} पर इस प्रका | vedclass

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Question

(B) $1$. स्वतुल्यता: किसी भी $a \in \mathbb{R}$ के लिए, $a-a = 0$ है। चूँकि $0$ मान्य है, इसलिए सभी $a$ के लिए $a \rho a$ सत्य है। अतः, $\rho$ स्वतुल्

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$\rho$ स्वतुल्य और सममित है लेकिन संक्रामक नहीं है

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(B) $1$. स्वतुल्यता: किसी भी $a \in \mathbb{R}$ के लिए, $a-a = 0$ है। चूँकि $0$ मान्य है, इसलिए सभी $a$ के लिए $a \rho a$ सत्य है। अतः, $\rho$ स्वतुल्य है।$2$. सममितता: यदि $a \rho b$ है, तो $a-b = 0$ या $a-b$ अपरिमेय है। यदि $a-b=0$, तो $b-a=0$ होगा। यदि $a-b$ अपरिमेय है, तो $b-a = -(a-b)$ भी अपरिमेय होगा। अतः, $b \rho a$ सत्य है। इस प्रकार, $\rho$ सममित है।$3$. संक्रामकता: मान लीजिए $a = 2 + \sqrt{2}$, $b = 2$, और $c = \sqrt{2}$ है।यहाँ $a-b = (2+\sqrt{2}) - 2 = \sqrt{2}$ (अपरिमेय), इसलिए $a \rho b$ है।और $b-c = 2 - \sqrt{2}$ (अपरिमेय), इसलिए $b \rho c$ है।हालाँकि, $a-c = (2+\sqrt{2}) - \sqrt{2} = 2$ (परिमेय और अशून्य), इसलिए $a \rho c$ असत्य है।अतः, $\rho$ संक्रामक नहीं है।

मान लीजिए कि संबंध $\rho$, $\mathbb{R}$ पर इस प्रकार परिभाषित है कि $a \rho b$ यदि और केवल यदि $a-b$ शून्य या अपरिमेय है। तो:

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किन्हीं दो वास्तविक संख्याओं $a$ और $b$ के लिए, हम $a R b$ को परिभाषित करते हैं यदि और केवल यदि $\sin ^{2} a+\cos ^{2} b=1$ हो। संबंध $R$ है

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