यदि $e_1$,$e_2$ और $e_3$ शांकवों $y = x^2 - x + 3$,$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{3a^4} = 1$ और $a^2x^2 - 3a^4y^2 = 1$ की उत्केंद्रताएँ हैं,तो निम्नलिखित में से कौन सा सही है? (जहाँ $a > 1$)

यदि बिंदु $(\alpha, \beta)$ जो दीर्घवृत्त $25x^{2} + 4y^{2} = 1$ पर स्थित है,से परवलय $y^{2} = 4x$ पर खींची गई दो स्पर्श रेखाएं इस प्रकार हैं कि एक स्पर्श रेखा का ढाल दूसरी का चार गुना है,तो $(10\alpha + 5)^{2} + (16\beta^{2} + 50)^{2}$ का मान क्या होगा?

यदि दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{3} = 1$ के बिंदु $\left( 2, \frac{3}{2} \right)$ पर अभिलंब एक परवलय को स्पर्श करता है,तो परवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए।

शांकव $\frac{5}{r}=2+3 \cos \theta+4 \sin \theta$ की उत्केंद्रता (eccentricity) है

किसी $\theta \in (0, \frac{\pi}{2})$ के लिए, मान लीजिए कि अतिपरवलय $x^{2} - y^{2} \sec^{2} \theta = 8$ की उत्केंद्रता और नाभिलंब की लंबाई क्रमशः $e_{1}$ और $l_{1}$ हैं, और दीर्घवृत्त $x^{2} \sec^{2} \theta + y^{2} = 6$ की उत्केंद्रता और नाभिलंब की लंबाई क्रमशः $e_{2}$ और $l_{2}$ हैं। यदि $e_{1}^{2} = e_{2}^{2}(\sec^{2} \theta + 1)$ है, तो $(\frac{l_{1}l_{2}}{e_{1}e_{2}}) \tan^{2} \theta$ का मान . . . . . . है।

समीकरण $2|x| + 3|y| = 6$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल वर्ग इकाइयों में ज्ञात कीजिए।