समतलों $x + 2y = 0$ और $y - 3z + 3 = 0$ की प्रतिच्छेदन रेखा है

मान लीजिए $d$ समतल $-x + y + z = 1$ पर बिंदुओं $P(1, 2, -1)$ और $Q(2, -1, 3)$ के लंबपादों के बीच की दूरी है। तो $d^{2}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$1, -1, 2$ दिक-अनुपात वाली एक रेखा, रेखाओं $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z+1}{3}$ और $\frac{x+1}{-1} = \frac{y-2}{1} = \frac{z}{4}$ को क्रमशः $P$ और $Q$ बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती है। यदि रेखाखंड $PQ$ की लंबाई $\alpha$ है, तो $225\alpha^2$ का मान ज्ञात कीजिए:

मान लीजिए कि बिंदु $P (3, -2, -9)$ से बिंदुओं $A (-1, -2, -3)$,$B (9, 3, 4)$,और $C (9, -2, 1)$ से गुजरने वाले समतल पर डाले गए लंब का पाद $Q(\alpha, \beta, \gamma)$ है। तो मूल बिंदु से $Q$ की दूरी है:

यदि समतलों $2x - y + z = 3$ और $4x - 3y + 5z + 9 = 0$ की प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाला और रेखा $\frac{x + 1}{-2} = \frac{y + 3}{4} = \frac{z - 2}{5}$ के समांतर समतल का समीकरण $ax + by + cz + 6 = 0$ है,तो $a + b + c$ का मान $.............$ है।

मान लीजिए कि समतल $P: \vec{r} \cdot \vec{a} = d$ दो समतलों $\vec{r} \cdot (\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}) = 6$ और $\vec{r} \cdot (-6\hat{i} + 5\hat{j} - \hat{k}) = 7$ की प्रतिच्छेदन रेखा को समाहित करता है। यदि समतल $P$ बिंदु $(2, 3, 1/2)$ से होकर गुजरता है,तो $\frac{|13\vec{a}|^2}{d^2}$ का मान ज्ञात कीजिए।