$x \in (0, \pi)$ के लिए $\frac{8}{3\sin x - \sin 3x} + 3\sin^2 x \le 5$ के वास्तविक मानों की संख्या क्या है?

समीकरण $\frac{1}{\sin(\frac{\pi}{n})} = \frac{1}{\sin(\frac{2\pi}{n})} + \frac{1}{\sin(\frac{3\pi}{n})}$ को संतुष्ट करने वाला $n > 3$ का धनात्मक पूर्णांक मान है

यदि $\cos \alpha + \cos \beta = a$ और $\sin \alpha + \sin \beta = b$ है,तो List-$A$ में दी गई वस्तुओं का मिलान List-$B$ में उनके मानों से कीजिए।

List-$A$	List-$B$
$(I)$ $\tan \left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) =$	$(a)$ $\frac{b}{a}$
$(II)$ $\cos (\alpha + \beta) =$	$(b)$ $\frac{2ab}{a^2 + b^2}$
$(III)$ $\sin (\alpha + \beta) =$	$(c)$ $\frac{2ab}{a^2 - b^2}$
$(IV)$ $\tan (\alpha + \beta) =$	$(d)$ $\frac{a^2 - b^2}{a^2 + b^2}$

यदि $(\sin \theta - \operatorname{cosec} \theta)^2 + (\cos \theta + \sec \theta)^2 = 5$ और $\theta$ तीसरे चतुर्थांश में स्थित है,तो $(\sin \theta + \cos \theta)^3 = $

मान लीजिए $\tan \alpha, \tan \beta$ और $\tan \gamma$ (जहाँ $\alpha, \beta, \gamma \neq \frac{(2n-1)\pi}{2}, n \in N$) तीन रेखाखंडों $OA, OB$ और $OC$ के ढाल हैं,जहाँ $O$ मूलबिंदु है। यदि $\Delta ABC$ का परिकेंद्र मूलबिंदु पर स्थित है और इसका लंबकेंद्र $y$-अक्ष पर स्थित है,तो $\left(\frac{\cos 3\alpha + \cos 3\beta + \cos 3\gamma}{\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma}\right)^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\sinh x = -\frac{1}{2}$ है,तो $\tanh 2x = $