$8$ સમાન પુસ્તકોને $4$ સમાન છાજલીઓમાં ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા,જ્યાં કોઈપણ સંખ્યામાં છાજલીઓ ખાલી રહી શકે છે,તે કેટલી છે?

જો ${}^n C_r$ એ $n$ વસ્તુઓમાંથી $r$ વસ્તુઓ લેવાની સંચયની સંખ્યા દર્શાવતું હોય,તો પદાવલિ ${}^n C_{r+1} + {}^n C_{r-1} + 2{}^n C_r$ ની કિંમત શું થાય?

$UNIVERSE$ શબ્દના અક્ષરોનો ઉપયોગ કરીને,પુનરાવર્તન વગર,$2$ સ્વર અને $2$ વ્યંજન ધરાવતા $4$ અક્ષરોવાળા કેટલા શબ્દો (અર્થપૂર્ણ કે અર્થહીન) બનાવી શકાય?

$8$ બાળકો ધરાવતા પિતા તેમને એક સમયે $3$ બાળકોને પ્રાણી સંગ્રહાલયમાં લઈ જાય છે,જ્યાં સુધી તે જ $3$ બાળકોને એક કરતા વધુ વખત સાથે ન લઈ જાય. દરેક બાળક કેટલી વાર બગીચામાં જશે?

એક ટેબલ પર $6$ અલગ-અલગ નવલકથાઓ અને $3$ અલગ-અલગ કવિતાના પુસ્તકો છે. જો $4$ નવલકથાઓ અને $1$ કવિતાનું પુસ્તક પસંદ કરીને એક શેલ્ફ પર એવી રીતે ગોઠવવામાં આવે કે કવિતાનું પુસ્તક હંમેશા વચ્ચે રહે,તો આવી શક્ય ગોઠવણીઓની સંખ્યા કેટલી છે?

$n$ વિદ્યાર્થીઓમાંથી પાંચ વિદ્યાર્થીઓની પસંદગી એવી રીતે કરવામાં આવે છે કે જેથી $2$ ચોક્કસ વિદ્યાર્થીઓ પસંદ થાય તેવા પ્રકારોની સંખ્યા અને $2$ ચોક્કસ વિદ્યાર્થીઓ પસંદ ન થાય તેવા પ્રકારોની સંખ્યાનો ગુણોત્તર $2:3$ છે. તો $n$ નું મૂલ્ય શોધો.