$24$ અક્ષરોમાંથી $8$ અક્ષરો પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા,જેમાં $8$ અક્ષરો $a$ છે,$8$ અક્ષરો $b$ છે અને બાકીના $8$ અક્ષરો અલગ છે,તે નીચે મુજબ છે:

નીચેના વિધાનો ધ્યાનમાં લો:
$I$. $x_1+x_2+x_3+x_4=10$ ના ધન પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા $286$ છે.
$II$. જો $25! = 10^n \times k, (k \in N)$ હોય, તો $n=6$.
નીચેનામાંથી કયો વિકલ્પ સાચો છે?

$1, 2, 3, ..., 7$ અંકોના પુનરાવર્તન વગરના એવા કેટલા ક્રમચયો છે જેમાં $153$ સ્ટ્રિંગ કે $2467$ સ્ટ્રિંગ ન હોય?

સમૂહ $A$ માં $4$ પુરુષો અને $5$ સ્ત્રીઓ છે,અને સમૂહ $B$ માં $5$ પુરુષો અને $4$ સ્ત્રીઓ છે. જો દરેક સમૂહમાંથી $4$ વ્યક્તિઓની પસંદગી કરવામાં આવે,તો $4$ પુરુષો અને $4$ સ્ત્રીઓની પસંદગી કરવાની રીતોની સંખ્યા કેટલી છે?

$ASSASSIN$ શબ્દના અક્ષરોને કેટલી રીતે ગોઠવી શકાય કે જેથી બે $S$ સાથે ન આવે?

પૂર્ણાંક $n$ અને $r$ માટે,ધારો કે $\binom{n}{r} = \begin{cases} ^{n}C_{r}, & \text{જો } n \geq r \geq 0 \\ 0, & \text{અન્યથા} \end{cases}$. $k$ ની મહત્તમ કિંમત જેના માટે સરવાળો $\sum_{i=0}^{k}\binom{10}{i}\binom{15}{k-i} + \sum_{i=0}^{k+1}\binom{12}{i}\binom{13}{k+1-i}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે,તે ...... છે.