$24$ अक्षरों में से $8$ अक्षरों के चयन के तरीकों की संख्या,जिनमें से $8$ अक्षर $a$ हैं,$8$ अक्षर $b$ हैं और शेष $8$ अलग-अलग हैं,वह है:

एक हाई स्कूल में,$6$ लड़कों $M_1, M_2, M_3, M_4, M_5, M_6$ और $5$ लड़कियों $G_1, G_2, G_3, G_4, G_5$ के समूह से एक समिति बनाई जानी है।
$(i)$ मान लीजिए $\alpha_1$ उन तरीकों की कुल संख्या है जिनसे समिति बनाई जा सकती है ताकि समिति में $5$ सदस्य हों,जिसमें ठीक $3$ लड़के और $2$ लड़कियाँ हों।
$(ii)$ मान लीजिए $\alpha_2$ उन तरीकों की कुल संख्या है जिनसे समिति बनाई जा सकती है ताकि समिति में कम से कम $2$ सदस्य हों,और लड़कों और लड़कियों की संख्या समान हो।
$(iii)$ मान लीजिए $\alpha_3$ उन तरीकों की कुल संख्या है जिनसे समिति बनाई जा सकती है ताकि समिति में $5$ सदस्य हों,जिनमें से कम से कम $2$ लड़कियाँ हों।
$(iv)$ मान लीजिए $\alpha_4$ उन तरीकों की कुल संख्या है जिनसे समिति बनाई जा सकती है ताकि समिति में $4$ सदस्य हों,जिसमें कम से कम $2$ लड़कियाँ हों और $M_1$ तथा $G_1$ दोनों एक साथ समिति में $NOT$ हों।

$LIST-I$	$LIST-II$
$P$. $\alpha_1$ का मान	$1. 136$
$Q$. $\alpha_2$ का मान	$2. 189$
$R$. $\alpha_3$ का मान	$3. 192$
$S$. $\alpha_4$ का मान	$4. 200$
	$5. 381$
	$6. 461$

सही विकल्प है:

$VARIABLE$ शब्द के अक्षरों में से यादृच्छिक रूप से तीन अक्षर चुने जाते हैं और उनसे सभी संभव तीन-अक्षरों वाले शब्द (अर्थपूर्ण या अर्थहीन) बनाए जाते हैं। तो तीन-अक्षरों वाले शब्द में बीच का अक्षर व्यंजन होने की प्रायिकता क्या है?

यदि शब्द $ACADEMICIAN$ के सभी अक्षरों को सभी संभावित तरीकों से क्रमबद्ध किया जाए,तो ऐसे कितने क्रमचय होंगे जिनमें कोई भी दो $A$ साथ न हों और सभी व्यंजन साथ हों?

मान लीजिए $a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7$ ऐसे पूर्णांक हैं कि $\frac{5}{7} = \frac{a_2}{2!} + \frac{a_3}{3!} + \frac{a_4}{4!} + \frac{a_5}{5!} + \frac{a_6}{6!} + \frac{a_7}{7!}$,जहाँ $j = 2, 3, 4, 5, 6, 7$ के लिए $0 \leq a_j < j$ है। $a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7$ का योग है:

यदि $n$ एक पूर्णांक है जहाँ $0 \leq n \leq 11$,तो $n!(11-n)!$ का न्यूनतम मान $n$ के किस मान पर प्राप्त होता है?