निम्नलिखित कथनों का अवलोकन करें:
$A$. तीन सदिश समतलीय होते हैं यदि उनमें से एक को अन्य दो के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त किया जा सके।
$R$. कोई भी तीन समतलीय सदिश रैखिक रूप से आश्रित होते हैं।
तो, निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

$O \equiv (0,0,0)$, $A \equiv (2,-2,1)$, $B \equiv (5,-4,4)$ और $C \equiv (1,-2,4)$ शीर्षों वाले समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन ज्ञात कीजिए।

किन्हीं तीन शून्येतर सदिशों $\vec{r}_{1}, \vec{r}_{2}$ और $\vec{r}_{3}$ के लिए,सारणिक $\left| \begin{matrix} \vec{r}_{1} \cdot \vec{r}_{1} & \vec{r}_{1} \cdot \vec{r}_{2} & \vec{r}_{1} \cdot \vec{r}_{3} \\ \vec{r}_{2} \cdot \vec{r}_{1} & \vec{r}_{2} \cdot \vec{r}_{2} & \vec{r}_{2} \cdot \vec{r}_{3} \\ \vec{r}_{3} \cdot \vec{r}_{1} & \vec{r}_{3} \cdot \vec{r}_{2} & \vec{r}_{3} \cdot \vec{r}_{3} \end{matrix} \right| = 0$ है। तो निम्नलिखित में से कौन सा असत्य है?

यदि $\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}$ परस्पर लंबवत सदिश हैं जिनके परिमाण क्रमशः $1, 2, 3$ हैं,तो $[\overline{a}+\overline{b}+\overline{c} \quad \overline{b}-\overline{a} \quad \overline{c}]$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}] = 0$ है,तो:

यदि $a, b, c$ असमतलीय सदिश हैं और $\lambda$ एक वास्तविक संख्या है,तो सदिश $a + 2b + 3c, \lambda b + 4c$ और $(2\lambda - 1)c$ किन मानों के लिए असमतलीय होंगे?