સ્વતંત્રતાના અંશ (degree of freedom) $f$ ના પદમાં $\gamma = \frac{C_P}{C_V}$ માટેનું સમીકરણ મેળવો.

(D) $f$ સ્વતંત્રતાના અંશ ધરાવતા વાયુ માટે,$1 \text{ mole}$ વાયુની આંતરિક ઉર્જા $U$ નીચે મુજબ છે:
$U = f \times \frac{1}{2} k_B T \times N_A = \frac{1}{2} f RT$ (કારણ કે $k_B N_A = R$).
અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્માની વ્યાખ્યા મુજબ:
$C_V = \frac{dU}{dT} = \frac{d}{dT} \left( \frac{1}{2} f RT \right) = \frac{1}{2} f R$.
અચળ દબાણ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા માટે મેયરના સંબંધનો ઉપયોગ કરતા:
$C_P = C_V + R = \frac{1}{2} f R + R = \left( \frac{f}{2} + 1 \right) R$.
એડિયાબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma$ ને વિશિષ્ટ ઉષ્માના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:
$\gamma = \frac{C_P}{C_V} = \frac{(\frac{f}{2} + 1) R}{\frac{1}{2} f R}$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$\gamma = \frac{f + 2}{f} = 1 + \frac{2}{f}$.