रेखा $3x + 4y = 12$ पर स्थित प्रत्येक बिंदु से वृत्त $x^2 + y^2 = 4$ पर स्पर्श रेखाओं का एक युग्म खींचा जाता है। उनकी चर स्पर्श जीवा हमेशा एक निश्चित बिंदु से होकर गुजरती है,जिसके निर्देशांक हैं:

वृत्तों $x^2 + y^2 - 6x - 16 = 0$ और $x^2 + y^2 - 8y - 9 = 0$ की उभयनिष्ठ जीवा (common chord) की लंबाई ज्ञात कीजिए:

$L_1$ और $L_2$ दो वृत्तों की दो उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ हैं। यदि $L_1$ दोनों वृत्तों को $A(1, 1)$ और $B(0, 1)$ पर स्पर्श करती है और $L_2$ दोनों वृत्तों को $C\left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right)$ और $D\left(-\frac{1}{5}, \frac{7}{5}\right)$ पर स्पर्श करती है,तो दोनों वृत्तों की मूलाक्ष (radical axis) का समीकरण ज्ञात कीजिए।

यदि एक चर वृत्त $S=0$ रेखा $y=x$ को स्पर्श करता है और बिंदु $(0,0)$ से होकर गुजरता है,तो वृत्तों $x^2+y^2+6x+8y-7=0$ और $S=0$ की उभयनिष्ठ जीवा पर स्थित स्थिर बिंदु है

एक वृत्त जिसका केंद्र $(2, 3)$ और त्रिज्या $4$ है,रेखा $x + y = 3$ को बिंदुओं $P$ और $Q$ पर प्रतिच्छेद करता है। यदि $P$ और $Q$ पर स्पर्श रेखाएं बिंदु $S(\alpha, \beta)$ पर प्रतिच्छेद करती हैं,तो $4 \alpha - 7 \beta$ का मान $........$ है।

$(2,3)$ और $(4,5)$ केंद्र वाले दो वृत्त एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करते हैं। यदि उनकी त्रिज्याएँ समान हैं,तो उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण क्या है?