यदि एक चर वृत्त S=0 रेखा y=x को स्पर्श करता ह | vedclass

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Question

(A) माना मूल बिंदु $(0,0)$ से गुजरने वाले चर वृत्त $S=0$ का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy=0$ है।चूंकि वृत्त रेखा $x-y=0$ को स्पर्श करता है,केंद्र $(-g, -f)$

Vedclass · Accepted Answer

$\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$

Vedclass · Answer

(A) माना मूल बिंदु $(0,0)$ से गुजरने वाले चर वृत्त $S=0$ का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy=0$ है।चूंकि वृत्त रेखा $x-y=0$ को स्पर्श करता है,केंद्र $(-g, -f)$ से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या $\sqrt{g^2+f^2}$ के बराबर होनी चाहिए।$\frac{|-g+f|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} = \sqrt{g^2+f^2} \Rightarrow \frac{(g-f)^2}{2} = g^2+f^2$.$g^2+f^2-2gf = 2g^2+2f^2$ $\Rightarrow g^2+f^2+2gf = 0$ $\Rightarrow (g+f)^2 = 0$ $\Rightarrow f = -g$.$f = -g$ को वृत्त के समीकरण में रखने पर,$S = x^2+y^2+2gx-2gy = 0$ प्राप्त होता है।$S=0$ और $x^2+y^2+6x+8y-7=0$ की उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।$(x^2+y^2+2gx-2gy) - (x^2+y^2+6x+8y-7) = 0$.$(2g-6)x - (2g+8)y + 7 = 0$.$2g(x-y) - (6x+8y-7) = 0$.यह रेखाओं का एक परिवार है जो $x-y=0$ और $6x+8y-7=0$ के प्रतिच्छेदन बिंदु से गुजरता है।इन समीकरणों को हल करने पर: $x=y$,अतः $6x+8x-7=0$ $\Rightarrow 14x=7$ $\Rightarrow x=\frac{1}{2}$.अतः,स्थिर बिंदु $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ है।

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निम्नलिखित में से कौन सा बिंदु वृत्तों ${x^2 + y^2 + 2x - 3y + 6 = 0}$ और ${x^2 + y^2 + x - 8y - 13 = 0}$ की उभयनिष्ठ जीवा (common chord) पर स्थित है?

वृत्तों $x^2+y^2-4x+10y+20=0$ और $x^2+y^2+8x-6y-24=0$ की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा का समीकरण है

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