f(x) = x cdot 2^{ln(x^2 + 1)} का x के सापेक्ष | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int x \cdot 2^{\ln(x^2 + 1)} dx$.$t = x^2 + 1$ प्रतिस्थापित करने पर,$dt = 2x dx$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x dx = \frac{dt}{2}$.अत

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$\frac{(x^2 + 1)^{\ln 2 + 1}}{2(\ln 2 + 1)} + C$

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(C) माना $I = \int x \cdot 2^{\ln(x^2 + 1)} dx$.$t = x^2 + 1$ प्रतिस्थापित करने पर,$dt = 2x dx$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x dx = \frac{dt}{2}$.अतः समाकलन $I = \frac{1}{2} \int 2^{\ln t} dt$ हो जाता है।लघुगणक के गुणधर्म $a^{\ln b} = b^{\ln a}$ का उपयोग करने पर,$2^{\ln t} = t^{\ln 2}$ होता है।इसलिए,$I = \frac{1}{2} \int t^{\ln 2} dt$.$t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,$I = \frac{1}{2} \cdot \frac{t^{\ln 2 + 1}}{\ln 2 + 1} + C$ प्राप्त होता है।$t = x^2 + 1$ का मान वापस रखने पर,$I = \frac{(x^2 + 1)^{\ln 2 + 1}}{2(\ln 2 + 1)} + C$ प्राप्त होता है।

$f(x) = x \cdot 2^{\ln(x^2 + 1)}$ का $x$ के सापेक्ष समाकलन (primitive) ज्ञात कीजिए।

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