सिद्ध कीजिए कि $3 \sin ^{-1} x = \sin ^{-1}(3 x - 4 x^{3})$,जहाँ $x \in [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$.

(N/A) $3 \sin ^{-1} x = \sin ^{-1}(3 x - 4 x^{3})$ सिद्ध करने के लिए,जहाँ $x \in [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$.
माना $x = \sin \theta$. तब,$\theta = \sin ^{-1} x$.
चूँकि $x \in [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$,हमारे पास $\sin \theta \in [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ है,जिसका अर्थ है $\theta \in [-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}]$.
$3$ से गुणा करने पर,हमें $3\theta \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ प्राप्त होता है।
अब,दायाँ पक्ष ($R$.$H$.$S$.) लें:
$\sin ^{-1}(3 x - 4 x^{3}) = \sin ^{-1}(3 \sin \theta - 4 \sin ^{3} \theta)$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin 3\theta = 3 \sin \theta - 4 \sin ^{3} \theta$ का उपयोग करने पर:
$= \sin ^{-1}(\sin 3 \theta)$
चूँकि $3\theta \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$,हम गुणधर्म $\sin ^{-1}(\sin \alpha) = \alpha$ का उपयोग कर सकते हैं,जहाँ $\alpha \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
$= 3 \theta$
$= 3 \sin ^{-1} x = \text{बायाँ पक्ष (L.H.S.)}$
अतः,सर्वसमिका सिद्ध हुई।