सिद्ध कीजिए कि $\cos ^{-1} \frac{4}{5} + \cos ^{-1} \frac{12}{13} = \cos ^{-1} \frac{33}{65}$

(A) माना $\cos ^{-1} \frac{4}{5} = x$. तब $\cos x = \frac{4}{5}$.
चूँकि $\sin x = \sqrt{1 - \cos^2 x} = \sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2} = \frac{3}{5}$,इसलिए $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4}$.
अतः,$\cos ^{-1} \frac{4}{5} = \tan ^{-1} \frac{3}{4}$ $\dots (1)$.
अब,माना $\cos ^{-1} \frac{12}{13} = y$. तब $\cos y = \frac{12}{13}$.
चूँकि $\sin y = \sqrt{1 - (\frac{12}{13})^2} = \frac{5}{13}$,इसलिए $\tan y = \frac{5/13}{12/13} = \frac{5}{12}$.
अतः,$\cos ^{-1} \frac{12}{13} = \tan ^{-1} \frac{5}{12}$ $\dots (2)$.
सूत्र $\tan ^{-1} A + \tan ^{-1} B = \tan ^{-1} \left( \frac{A + B}{1 - AB} \right)$ का उपयोग करने पर:
$L.H.S = \tan ^{-1} \frac{3}{4} + \tan ^{-1} \frac{5}{12} = \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{3}{4} + \frac{5}{12}}{1 - \frac{3}{4} \times \frac{5}{12}} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{56/48}{33/48} \right) = \tan ^{-1} \frac{56}{33}$.
$\tan ^{-1} \frac{56}{33}$ को $\cos ^{-1}$ रूप में बदलने पर,हमें $\cos ^{-1} \frac{33}{65} = R.H.S$ प्राप्त होता है।