सिद्ध कीजिए कि $\frac{1}{\sqrt{2}}$ एक अपरिमेय संख्या है।

(N/A) सबसे पहले,हर का परिमेयकरण करने पर: $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
मान लीजिए,विरोधाभास के लिए,कि $\frac{\sqrt{2}}{2}$ एक परिमेय संख्या है।
अतः,ऐसे सह-अभाज्य पूर्णांक $a$ और $b$ $(b \neq 0)$ मौजूद हैं कि $\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{a}{b}$ हो।
इसका अर्थ है कि $\sqrt{2} = \frac{2a}{b}$।
चूंकि $a$ और $b$ पूर्णांक हैं,इसलिए $\frac{2a}{b}$ एक परिमेय संख्या है।
इसका अर्थ यह हुआ कि $\sqrt{2}$ एक परिमेय संख्या है।
परंतु,यह इस ज्ञात तथ्य का विरोधाभास करता है कि $\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है।
अतः,हमारी यह धारणा कि $\frac{1}{\sqrt{2}}$ परिमेय है,गलत है।
इसलिए,$\frac{1}{\sqrt{2}}$ एक अपरिमेय संख्या है।