सिद्ध कीजिए कि $\sqrt[3]{6}$ एक अपरिमेय संख्या है।

(N/A) मान लीजिए,विरोधाभास के लिए,कि $\sqrt[3]{6}$ एक परिमेय संख्या है।
माना $\sqrt[3]{6} = \frac{a}{b}$,जहाँ $a, b \in N$ और $g.c.d.(a, b) = 1$ है।
चूंकि $1 < 6 < 8$,इसलिए $\sqrt[3]{1} < \sqrt[3]{6} < \sqrt[3]{8}$,जिसका अर्थ है $1 < \frac{a}{b} < 2$।
इसका अर्थ है कि $b > 1$,क्योंकि यदि $b = 1$ होता,तो $\frac{a}{b}$ एक पूर्णांक होता,लेकिन $1$ और $2$ के बीच कोई पूर्णांक नहीं है।
दोनों पक्षों का घन करने पर,हमें $6 = \frac{a^3}{b^3}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $6b^3 = a^3$।
चूंकि $g.c.d.(a, b) = 1$,इसलिए $g.c.d.(a^3, b^3) = 1$ होगा।
समीकरण $6b^3 = a^3$ से,$b^3$ को $a^3$ का विभाजक होना चाहिए। चूंकि $g.c.d.(a^3, b^3) = 1$ है,यह केवल तभी संभव है जब $b^3 = 1$ हो,अर्थात $b = 1$।
हालाँकि,हमने पहले ही स्थापित कर लिया है कि $b > 1$ है। यह एक विरोधाभास है।
अतः,हमारी यह धारणा कि $\sqrt[3]{6}$ परिमेय है,गलत है।
इसलिए,$\sqrt[3]{6}$ एक अपरिमेय संख्या है।