સાબિત કરો કે કોઈપણ એકી ધન પૂર્ણાંકનો વર્ગ $8m + 1$ સ્વરૂપમાં હોય છે,જ્યાં $m$ એ અનૃણ પૂર્ણાંક છે.

ધારો કે $a$ એક એકી ધન પૂર્ણાંક છે. યુક્લિડના ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેય મુજબ,કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $a$ ને $a = 4q + r$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $r \in \{0, 1, 2, 3\}$ છે.
$a$ એકી હોવાથી,$r$ ની કિંમત $1$ અથવા $3$ હોવી જોઈએ.
કિસ્સો $1$: જો $a = 4q + 1$ હોય,તો $a^2 = (4q + 1)^2 = 16q^2 + 8q + 1 = 8(2q^2 + q) + 1$. ધારો કે $m = 2q^2 + q$,તો $a^2 = 8m + 1$.
કિસ્સો $2$: જો $a = 4q + 3$ હોય,તો $a^2 = (4q + 3)^2 = 16q^2 + 24q + 9 = 16q^2 + 24q + 8 + 1 = 8(2q^2 + 3q + 1) + 1$. ધારો કે $m = 2q^2 + 3q + 1$,તો $a^2 = 8m + 1$.
બંને કિસ્સાઓમાં,એકી ધન પૂર્ણાંકનો વર્ગ $8m + 1$ સ્વરૂપમાં મળે છે.