सिद्ध कीजिए कि $\tan ^{-1} x+\tan ^{-1} \frac{2 x}{1-x^{2}}=\tan ^{-1}\left(\frac{3 x-x^{3}}{1-3 x^{2}}\right)$,जहाँ $|x| < \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(A) माना $x = \tan \theta$. तब $\theta = \tan ^{-1} x$.
$R.H.S.$ पर विचार करें:
$\tan ^{-1}\left(\frac{3 x-x^{3}}{1-3 x^{2}}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{3 \tan \theta - \tan ^{3} \theta}{1-3 \tan ^{2} \theta}\right)$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\tan 3\theta = \frac{3 \tan \theta - \tan ^{3} \theta}{1-3 \tan ^{2} \theta}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$= \tan ^{-1}(\tan 3 \theta) = 3 \theta$
चूँकि $3\theta = \theta + 2\theta$,हम लिख सकते हैं:
$= \tan ^{-1} x + 2 \tan ^{-1} x$
$|x| < 1$ के लिए सूत्र $2 \tan ^{-1} x = \tan ^{-1} \left(\frac{2x}{1-x^2}\right)$ का उपयोग करने पर:
$= \tan ^{-1} x + \tan ^{-1} \left(\frac{2x}{1-x^2}\right) = L.H.S.$
अतः,सर्वसमिका सिद्ध हुई।