ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને તમામ $n \in N$ માટે નીચેનાનું સાબિતી આપો:
$1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots+n^{3}=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2}$

ધારો કે આપેલ વિધાન $P(n)$ છે,એટલે કે
$P(n): 1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots+n^{3}=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2}$
$n=1$ માટે,આપણી પાસે છે
$P(1): 1^{3}=1=\left(\frac{1(1+1)}{2}\right)^{2}=\left(\frac{2}{2}\right)^{2}=1^{2}=1,$ જે સત્ય છે.
ધારો કે કોઈ ધન પૂર્ણાંક $k$ માટે $P(k)$ સત્ય છે,એટલે કે
$1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots+k^{3}=\left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^{2}$ ........$(i)$
હવે આપણે સાબિત કરીશું કે $P(k+1)$ સત્ય છે.
વિચારો
$1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots+k^{3}+(k+1)^{3}$
$= \left(1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots+k^{3}\right)+(k+1)^{3}$
$= \left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^{2}+(k+1)^{3}$ [$(i)$ નો ઉપયોગ કરતા]
$= \frac{k^{2}(k+1)^{2}}{4}+(k+1)^{3}$
$= \frac{k^{2}(k+1)^{2}+4(k+1)^{3}}{4}$
$= \frac{(k+1)^{2}\{k^{2}+4(k+1)\}}{4}$
$= \frac{(k+1)^{2}\{k^{2}+4k+4\}}{4}$
$= \frac{(k+1)^{2}(k+2)^{2}}{4}$
$= \left(\frac{(k+1)(k+2)}{2}\right)^{2}$
આમ,જ્યારે $P(k)$ સત્ય હોય ત્યારે $P(k+1)$ સત્ય છે.
તેથી,ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા,વિધાન $P(n)$ તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $n \in N$ માટે સત્ય છે.