गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके सभी $n \in N$ के लिए निम्नलिखित को सिद्ध कीजिए:
$1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots+n^{3}=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2}$

माना कि दिया गया कथन $P(n)$ है,अर्थात
$P(n): 1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots+n^{3}=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2}$
$n=1$ के लिए,हमारे पास है
$P(1): 1^{3}=1=\left(\frac{1(1+1)}{2}\right)^{2}=\left(\frac{2}{2}\right)^{2}=1^{2}=1,$ जो सत्य है।
माना कि किसी धनात्मक पूर्णांक $k$ के लिए $P(k)$ सत्य है,अर्थात
$1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots+k^{3}=\left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^{2}$ ........$(i)$
अब हम सिद्ध करेंगे कि $P(k+1)$ सत्य है।
विचार कीजिए
$1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots+k^{3}+(k+1)^{3}$
$= \left(1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots+k^{3}\right)+(k+1)^{3}$
$= \left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^{2}+(k+1)^{3}$ [$(i)$ का उपयोग करते हुए]
$= \frac{k^{2}(k+1)^{2}}{4}+(k+1)^{3}$
$= \frac{k^{2}(k+1)^{2}+4(k+1)^{3}}{4}$
$= \frac{(k+1)^{2}\{k^{2}+4(k+1)\}}{4}$
$= \frac{(k+1)^{2}\{k^{2}+4k+4\}}{4}$
$= \frac{(k+1)^{2}(k+2)^{2}}{4}$
$= \left(\frac{(k+1)(k+2)}{2}\right)^{2}$
अतः,जब $P(k)$ सत्य है तो $P(k+1)$ भी सत्य है।
इसलिए,गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,कथन $P(n)$ सभी प्राकृतिक संख्याओं $n \in N$ के लिए सत्य है।