सिद्ध कीजिए कि यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर अन्य दो भुजाओं को प्रतिच्छेद करने के लिए एक रेखा खींची जाए,तो ये अन्य दो भुजाएँ एक ही अनुपात में विभाजित हो जाती हैं।

(N/A) माना एक $\triangle ABC$ है जिसमें $BC$ के समांतर एक रेखा $DE$,$AB$ को $D$ पर और $AC$ को $E$ पर प्रतिच्छेद करती है। सिद्ध करना है: $DE$ दोनों भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करती है,अर्थात्,$\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$।
रचना: $BE$ और $CD$ को मिलाइए और $EF \perp AB$ तथा $DG \perp AC$ खींचिए।
उपपत्ति: यहाँ,$\frac{\text{ar}(\triangle ADE)}{\text{ar}(\triangle BDE)} = \frac{\frac{1}{2} \times AD \times EF}{\frac{1}{2} \times DB \times EF} = \frac{AD}{DB}$ ......$(i)$ [चूंकि,त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$]
इसी प्रकार,$\frac{\text{ar}(\triangle ADE)}{\text{ar}(\triangle DEC)} = \frac{\frac{1}{2} \times AE \times DG}{\frac{1}{2} \times EC \times DG} = \frac{AE}{EC}$ ......$(ii)$
अब,चूंकि $\triangle BDE$ और $\triangle DEC$ एक ही समांतर रेखाओं $DE$ और $BC$ के बीच स्थित हैं और एक ही आधार $DE$ पर हैं,इसलिए,$\text{ar}(\triangle BDE) = \text{ar}(\triangle DEC)$ ......$(iii)$
समीकरण $(i), (ii)$ और $(iii)$ से,हमें प्राप्त होता है $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$।
इति सिद्धम्।