सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज में,जो समबाहु त्रिभुज नहीं है,सबसे लंबी भुजा के सम्मुख कोण का मान एक समकोण के $\frac{2}{3}$ भाग से अधिक होता है।

(N/A) दिया है: एक त्रिभुज $ABC$,जो समबाहु त्रिभुज नहीं है। मान लीजिए $BC$ सबसे लंबी भुजा है।
सिद्ध करना है: $\angle A > \frac{2}{3} \times 90^{\circ} = 60^{\circ}$.
उपपत्ति: $\Delta ABC$ में,चूंकि $BC$ सबसे लंबी भुजा है,इसलिए हमारे पास है:
$BC > AB \Rightarrow \angle A > \angle C$ ..... $(1)$ [क्योंकि त्रिभुज में बड़ी भुजा के सम्मुख कोण बड़ा होता है]
$BC > AC \Rightarrow \angle A > \angle B$ ..... $(2)$ [क्योंकि त्रिभुज में बड़ी भुजा के सम्मुख कोण बड़ा होता है]
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\angle A + \angle A > \angle B + \angle C$
$2\angle A > \angle B + \angle C$
दोनों पक्षों में $\angle A$ जोड़ने पर:
$2\angle A + \angle A > \angle A + \angle B + \angle C$
$3\angle A > 180^{\circ}$ [त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म से]
$\angle A > \frac{180^{\circ}}{3}$
$\angle A > 60^{\circ}$
चूंकि $60^{\circ} = \frac{2}{3} \times 90^{\circ}$,अतः $\angle A > \frac{2}{3}$ समकोण।
इति सिद्धम्।