सिद्ध कीजिए कि फलन $f(x) = |x - 1|, x \in R$ बिंदु $x = 1$ पर अवकलनीय नहीं है।

(N/A) दिया गया फलन $f(x) = |x - 1|, x \in R$ है।
एक फलन $f$ बिंदु $x = c$ पर अवकलनीय होता है यदि बायाँ अवकलज $(LHD)$ और दायाँ अवकलज $(RHD)$ का अस्तित्व हो और वे बराबर हों।
$x = 1$ पर $LHD$:
$\mathop {\lim }\limits_{h \to {0^-}} \frac{f(1 + h) - f(1)}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to {0^-}} \frac{|1 + h - 1| - |1 - 1|}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to {0^-}} \frac{|h|}{h}$.
चूँकि $h < 0$,इसलिए $|h| = -h$,अतः सीमा $-1$ प्राप्त होती है।
$x = 1$ पर $RHD$:
$\mathop {\lim }\limits_{h \to {0^+}} \frac{f(1 + h) - f(1)}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to {0^+}} \frac{|1 + h - 1| - |1 - 1|}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to {0^+}} \frac{|h|}{h}$.
चूँकि $h > 0$,इसलिए $|h| = h$,अतः सीमा $1$ प्राप्त होती है।
चूँकि $LHD = -1$ और $RHD = 1$,इसलिए $LHD \neq RHD$ है।
अतः,फलन $f(x) = |x - 1|$ बिंदु $x = 1$ पर अवकलनीय नहीं है।