सिद्ध कीजिए कि $A(0,-1,-1)$ और $B(4,5,1)$ से होकर जाने वाली रेखा,$C(3,9,4)$ और $D(-4,4,4)$ से होकर जाने वाली रेखा को प्रतिच्छेद करती है।

(A) दो बिंदुओं $(x_{1}, y_{1}, z_{1})$ और $(x_{2}, y_{2}, z_{2})$ से गुजरने वाली रेखा का कार्तीय समीकरण $\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}} = \frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}} = \frac{z-z_{1}}{z_{2}-z_{1}}$ होता है।
$A(0,-1,-1)$ और $B(4,5,1)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x-0}{4-0} = \frac{y+1}{5+1} = \frac{z+1}{1+1}$ है,जो सरल होकर $\frac{x}{4} = \frac{y+1}{6} = \frac{z+1}{2} = \lambda$ बनता है। इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(4\lambda, 6\lambda-1, 2\lambda-1)$ है।
$C(3,9,4)$ और $D(-4,4,4)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x-3}{-4-3} = \frac{y-9}{4-9} = \frac{z-4}{4-4}$ है,जो सरल होकर $\frac{x-3}{-7} = \frac{y-9}{-5} = \frac{z-4}{0} = \mu$ बनता है। इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(-7\mu+3, -5\mu+9, 4)$ है।
यदि रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं,तो $\lambda$ और $\mu$ का अस्तित्व होना चाहिए ताकि निर्देशांक समान हों:
$2\lambda-1 = 4 \Rightarrow 2\lambda = 5 \Rightarrow \lambda = 2.5$.
$\lambda = 2.5$ को पहले दो निर्देशांकों में रखने पर: $x = 4(2.5) = 10$,$y = 6(2.5)-1 = 14$.
अब,दूसरी रेखा के लिए: $-7\mu+3 = 10 \Rightarrow -7\mu = 7 \Rightarrow \mu = -1$.
$y$ के लिए जाँच करने पर: $-5(-1)+9 = 5+9 = 14$. चूंकि निर्देशांक समान हैं,इसलिए रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं।