$A(0,-1,-1)$ અને $B(4,5,1)$ માંથી પસાર થતી રેખા,$C(3,9,4)$ અને $D(-4,4,4)$ માંથી પસાર થતી રેખાને છેદે છે તેમ સાબિત કરો.

(A) બે બિંદુઓ $(x_{1}, y_{1}, z_{1})$ અને $(x_{2}, y_{2}, z_{2})$ માંથી પસાર થતી રેખાનું કાર્તેઝિયન સમીકરણ $\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}} = \frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}} = \frac{z-z_{1}}{z_{2}-z_{1}}$ છે.
$A(0,-1,-1)$ અને $B(4,5,1)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-0}{4-0} = \frac{y+1}{5+1} = \frac{z+1}{1+1}$ છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{x}{4} = \frac{y+1}{6} = \frac{z+1}{2} = \lambda$ થાય. આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(4\lambda, 6\lambda-1, 2\lambda-1)$ છે.
$C(3,9,4)$ અને $D(-4,4,4)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-3}{-4-3} = \frac{y-9}{4-9} = \frac{z-4}{4-4}$ છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{x-3}{-7} = \frac{y-9}{-5} = \frac{z-4}{0} = \mu$ થાય. આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(-7\mu+3, -5\mu+9, 4)$ છે.
જો રેખાઓ છેદતી હોય,તો $\lambda$ અને $\mu$ એવા હોવા જોઈએ કે જેથી યામ સમાન થાય:
$2\lambda-1 = 4 \Rightarrow 2\lambda = 5 \Rightarrow \lambda = 2.5$.
$\lambda = 2.5$ ને પ્રથમ બે યામમાં મૂકતા: $x = 4(2.5) = 10$,$y = 6(2.5)-1 = 14$.
હવે,બીજી રેખા માટે: $-7\mu+3 = 10 \Rightarrow -7\mu = 7 \Rightarrow \mu = -1$.
$y$ માટે ચકાસતા: $-5(-1)+9 = 5+9 = 14$. યામ સમાન હોવાથી,રેખાઓ એકબીજાને છેદે છે.