$\frac{5}{\sqrt{3}-\sqrt{5}}$ के हर का परिमेयकरण कीजिए।

याद कीजिए,$\pi$ को एक वृत्त की परिधि (मान लीजिए $c$) और उसके व्यास (मान लीजिए $d$) के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है। अर्थात,$\pi = \frac{c}{d}$। यह इस तथ्य का विरोधाभास करता प्रतीत होता है कि $\pi$ एक अपरिमेय संख्या है। आप इस विरोधाभास का निराकरण कैसे करेंगे?

बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य। अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
$(i)$ प्रत्येक अपरिमेय संख्या एक वास्तविक संख्या होती है।
$(ii)$ संख्या रेखा का प्रत्येक बिंदु $\sqrt{m}$ के रूप का होता है,जहाँ $m$ एक प्राकृत संख्या है।
$(iii)$ प्रत्येक वास्तविक संख्या एक अपरिमेय संख्या होती है।

मान ज्ञात कीजिए:
$(i)$ $64^{\frac{1}{2}}$
$(ii)$ $32^{\frac{1}{5}}$
$(iii)$ $125^{\frac{1}{3}}$

दर्शाइए कि $1.272727 \ldots = 1.\overline{27}$ को $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है।

$3$ और $4$ के बीच छह परिमेय संख्याएँ ज्ञात कीजिए।