सिद्ध कीजिए कि $\sin^{-1}(2x\sqrt{1-x^2}) = 2\sin^{-1}x$,जहाँ $-\frac{1}{\sqrt{2}} \leq x \leq \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(N/A) माना $x = \sin \theta$. तब $\theta = \sin^{-1} x$.
चूँकि $-\frac{1}{\sqrt{2}} \leq x \leq \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $-\frac{\pi}{4} \leq \theta \leq \frac{\pi}{4}$,जिसका अर्थ है $-\frac{\pi}{2} \leq 2\theta \leq \frac{\pi}{2}$.
अब,व्यंजक $\sin^{-1}(2x\sqrt{1-x^2})$ पर विचार करें।
$x = \sin \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\sin^{-1}(2\sin \theta \sqrt{1-\sin^2 \theta})$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ का उपयोग करने पर,हमें $\sin^{-1}(2\sin \theta \sqrt{\cos^2 \theta}) = \sin^{-1}(2\sin \theta |\cos \theta|)$ प्राप्त होता है।
चूँकि $-\frac{\pi}{4} \leq \theta \leq \frac{\pi}{4}$,इसलिए $\cos \theta \geq 0$,जिसका अर्थ है $|\cos \theta| = \cos \theta$.
अतः,व्यंजक $\sin^{-1}(2\sin \theta \cos \theta) = \sin^{-1}(\sin 2\theta)$ बन जाता है।
चूँकि $2\theta \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$,इसलिए $\sin^{-1}(\sin 2\theta) = 2\theta$.
$\theta = \sin^{-1} x$ वापस रखने पर,हमें $2\sin^{-1} x$ प्राप्त होता है।