Class 9MathematicsAreas of Parallelograms and TrianglesTextbook - Areas of Parallelograms and Triangles
Mediumसिद्ध कीजिए कि एक समांतर चतुर्भुज के विकर्ण उसे बराबर क्षेत्रफल वाले चार त्रिभुजों में विभाजित करते हैं।
(N/A) माना $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है जिसके विकर्ण $AC$ और $BD$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
चूंकि समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं,इसलिए $AO = OC$ और $BO = OD$ है।
$CE \perp BD$ खींचिए।
अब,$\text{ar}(\Delta BOC) = \frac{1}{2} \times BO \times CE$ और $\text{ar}(\Delta DOC) = \frac{1}{2} \times OD \times CE$.
चूंकि $BO = OD$ है,इसलिए $\text{ar}(\Delta BOC) = \text{ar}(\Delta DOC) \quad ... (1)$.
इसी प्रकार,$A$ से $BD$ पर लंब खींचकर,हम दिखा सकते हैं कि $\text{ar}(\Delta AOD) = \text{ar}(\Delta AOB) \quad ... (2)$.
साथ ही,एक ही आधार $BD$ पर और समांतर रेखाओं $AD \parallel BC$ के बीच स्थित $\Delta ABD$ और $\Delta CBD$ को देखते हुए,हम जानते हैं कि $\text{ar}(\Delta ABD) = \text{ar}(\Delta CBD)$.
चूंकि $\text{ar}(\Delta ABD) = \text{ar}(\Delta AOB) + \text{ar}(\Delta AOD)$ और $\text{ar}(\Delta CBD) = \text{ar}(\Delta BOC) + \text{ar}(\Delta DOC)$,इसलिए $\text{ar}(\Delta AOB) + \text{ar}(\Delta AOD) = \text{ar}(\Delta BOC) + \text{ar}(\Delta DOC)$.
प्राप्त संबंधों का उपयोग करते हुए,चारों त्रिभुजों का क्षेत्रफल समान है: $\text{ar}(\Delta AOB) = \text{ar}(\Delta BOC) = \text{ar}(\Delta COD) = \text{ar}(\Delta DOA)$.
अतः,एक समांतर चतुर्भुज के विकर्ण उसे बराबर क्षेत्रफल वाले चार त्रिभुजों में विभाजित करते हैं।
चूंकि समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं,इसलिए $AO = OC$ और $BO = OD$ है।
$CE \perp BD$ खींचिए।
अब,$\text{ar}(\Delta BOC) = \frac{1}{2} \times BO \times CE$ और $\text{ar}(\Delta DOC) = \frac{1}{2} \times OD \times CE$.
चूंकि $BO = OD$ है,इसलिए $\text{ar}(\Delta BOC) = \text{ar}(\Delta DOC) \quad ... (1)$.
इसी प्रकार,$A$ से $BD$ पर लंब खींचकर,हम दिखा सकते हैं कि $\text{ar}(\Delta AOD) = \text{ar}(\Delta AOB) \quad ... (2)$.
साथ ही,एक ही आधार $BD$ पर और समांतर रेखाओं $AD \parallel BC$ के बीच स्थित $\Delta ABD$ और $\Delta CBD$ को देखते हुए,हम जानते हैं कि $\text{ar}(\Delta ABD) = \text{ar}(\Delta CBD)$.
चूंकि $\text{ar}(\Delta ABD) = \text{ar}(\Delta AOB) + \text{ar}(\Delta AOD)$ और $\text{ar}(\Delta CBD) = \text{ar}(\Delta BOC) + \text{ar}(\Delta DOC)$,इसलिए $\text{ar}(\Delta AOB) + \text{ar}(\Delta AOD) = \text{ar}(\Delta BOC) + \text{ar}(\Delta DOC)$.
प्राप्त संबंधों का उपयोग करते हुए,चारों त्रिभुजों का क्षेत्रफल समान है: $\text{ar}(\Delta AOB) = \text{ar}(\Delta BOC) = \text{ar}(\Delta COD) = \text{ar}(\Delta DOA)$.
अतः,एक समांतर चतुर्भुज के विकर्ण उसे बराबर क्षेत्रफल वाले चार त्रिभुजों में विभाजित करते हैं।
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