सिद्ध कीजिए कि वास्तविक संख्याओं के समुच्चय $\mathbb{R}$ में परिभाषित संबंध $R = \{(a, b) : a \leq b^2\}$ न तो स्वतुल्य है,न ही सममित है और न ही संक्रामक है।

(N/A) $(i)$ स्वतुल्य: एक संबंध $R$ स्वतुल्य होता है यदि सभी $a \in \mathbb{R}$ के लिए $(a, a) \in R$ हो।
माना $a = \frac{1}{2}$। चूँकि $\frac{1}{2} > (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$,इसलिए $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) \notin R$ है।
अतः,$R$ स्वतुल्य नहीं है।
$(ii)$ सममित: एक संबंध $R$ सममित होता है यदि $(a, b) \in R \implies (b, a) \in R$ हो।
माना $(1, 4) \in R$ क्योंकि $1 \leq 4^2 = 16$ है। लेकिन $4 \not\leq 1^2 = 1$,इसलिए $(4, 1) \notin R$ है।
अतः,$R$ सममित नहीं है।
$(iii)$ संक्रामक: एक संबंध $R$ संक्रामक होता है यदि $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R \implies (a, c) \in R$ हो।
माना $(3, 2) \in R$ (क्योंकि $3 \leq 2^2 = 4$) और $(2, 1.5) \in R$ (क्योंकि $2 \leq 1.5^2 = 2.25$)।
लेकिन $3 \not\leq 1.5^2 = 2.25$,इसलिए $(3, 1.5) \notin R$ है।
अतः,$R$ संक्रामक नहीं है।
निष्कर्ष: संबंध $R$ न तो स्वतुल्य है,न ही सममित है और न ही संक्रामक है।