સાબિત કરો કે સદિશ $\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ એ $OX, OY$ અને $OZ$ અક્ષો સાથે સમાન ખૂણે નમેલો છે.

(A) ધારો કે $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.
સદિશ $\vec{a}$ નું માન $|\vec{a}| = \sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{3}$ છે.
સદિશ $\vec{a}$ ના દિક્કોસાઈન $(l, m, n)$ એ એકમ સદિશ $\hat{a} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$ ના ઘટકો દ્વારા મળે છે.
તેથી,$l = \frac{1}{\sqrt{3}}$,$m = \frac{1}{\sqrt{3}}$,અને $n = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
ધારો કે $\alpha, \beta,$ અને $\gamma$ એ સદિશ $\vec{a}$ દ્વારા $OX, OY,$ અને $OZ$ અક્ષોની ધન દિશાઓ સાથે બનાવેલા ખૂણા છે.
તો,$\cos \alpha = l = \frac{1}{\sqrt{3}}$,$\cos \beta = m = \frac{1}{\sqrt{3}}$,અને $\cos \gamma = n = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
અહીં $\cos \alpha = \cos \beta = \cos \gamma$ હોવાથી,$\alpha = \beta = \gamma$ થાય છે.
આમ,સદિશ $\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ એ $OX, OY,$ અને $OZ$ અક્ષો સાથે સમાન ખૂણે નમેલો છે.