दर्शाइए कि सदिश $2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}, \hat{i}-3 \hat{j}-5 \hat{k}$ और $3 \hat{i}-4 \hat{j}-4 \hat{k}$ एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष बनाते हैं।

माना बिंदुओं $A, B,$ और $C$ के स्थिति सदिश $\overrightarrow{OA} = 2 \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$,$\overrightarrow{OB} = \hat{i} - 3 \hat{j} - 5 \hat{k}$,और $\overrightarrow{OC} = 3 \hat{i} - 4 \hat{j} - 4 \hat{k}$ हैं।
$\Delta ABC$ की भुजाओं को निरूपित करने वाले सदिश हैं:
$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = (1-2) \hat{i} + (-3+1) \hat{j} + (-5-1) \hat{k} = -\hat{i} - 2 \hat{j} - 6 \hat{k}$
$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB} = (3-1) \hat{i} + (-4+3) \hat{j} + (-4+5) \hat{k} = 2 \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$
$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA} = (3-2) \hat{i} + (-4+1) \hat{j} + (-4-1) \hat{k} = \hat{i} - 3 \hat{j} - 5 \hat{k}$
अब,भुजाओं के परिमाणों के वर्गों की गणना करते हैं:
$|\overrightarrow{AB}|^2 = (-1)^2 + (-2)^2 + (-6)^2 = 1 + 4 + 36 = 41$
$|\overrightarrow{BC}|^2 = (2)^2 + (-1)^2 + (1)^2 = 4 + 1 + 1 = 6$
$|\overrightarrow{AC}|^2 = (1)^2 + (-3)^2 + (-5)^2 = 1 + 9 + 25 = 35$
चूंकि $|\overrightarrow{BC}|^2 + |\overrightarrow{AC}|^2 = 6 + 35 = 41 = |\overrightarrow{AB}|^2$,भुजाएं पाइथागोरस प्रमेय को संतुष्ट करती हैं।
अतः,$\Delta ABC$ एक समकोण त्रिभुज है।