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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $\cos x \, dy = y(\sin x - y) \, dx$दोनों पक्षों को $\cos x \, dx$ से विभाजित करने पर:$\frac{dy}{dx} = y 	an x - y^2 \sec x

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$\sec x = (	an x + c)y$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $\cos x \, dy = y(\sin x - y) \, dx$दोनों पक्षों को $\cos x \, dx$ से विभाजित करने पर:$\frac{dy}{dx} = y 	an x - y^2 \sec x$पदों को व्यवस्थित करने पर:$\frac{dy}{dx} - y 	an x = -y^2 \sec x$$y^2$ से विभाजित करने पर:$y^{-2} \frac{dy}{dx} - y^{-1} 	an x = -\sec x \quad \dots(1)$माना $v = y^{-1} = \frac{1}{y}$। तब $\frac{dv}{dx} = -y^{-2} \frac{dy}{dx}$,या $y^{-2} \frac{dy}{dx} = -\frac{dv}{dx}$।समीकरण $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:$-\frac{dv}{dx} - v 	an x = -\sec x$$\frac{dv}{dx} + v 	an x = \sec x$यह $\frac{dv}{dx} + Pv = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = 	an x$ और $Q = \sec x$ है।समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P \, dx} = e^{\int 	an x \, dx} = e^{\ln|\sec x|} = \sec x$ है।व्यापक हल $v \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) \, dx + c$ है।$v \sec x = \int \sec x \cdot \sec x \, dx + c$$v \sec x = \int \sec^2 x \, dx + c$$v \sec x = 	an x + c$चूंकि $v = \frac{1}{y}$,हमें प्राप्त होता है:$\frac{1}{y} \sec x = 	an x + c$$\sec x = y(	an x + c)$

$0 < x < \frac{\pi}{2}$ के लिए अवकल समीकरण $\cos x \, dy = y(\sin x - y) \, dx$ का हल ज्ञात कीजिए।

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