अवकल समीकरण (x + y) frac{dy}{dx} = 1 का व्याप | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(x + y) \frac{dy}{dx} = 1$ है। इसे इस प्रकार लिखें: $\frac{dx}{dy} = x + y$। यह $\frac{dx}{dy} - x = y$ के रूप का एक रैखिक

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$x + y + 1 = ce^y$, जहाँ $c$ एक समाकलन स्थिरांक है

Vedclass · Answer

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(x + y) \frac{dy}{dx} = 1$ है। इसे इस प्रकार लिखें: $\frac{dx}{dy} = x + y$। यह $\frac{dx}{dy} - x = y$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है। यहाँ, $P = -1$ और $Q = y$ है। समाकलन गुणक $IF = e^{\int P dy} = e^{\int -1 dy} = e^{-y}$ है। हल $x \cdot (IF) = \int Q \cdot (IF) dy + c$ द्वारा दिया जाता है। $x e^{-y} = \int y e^{-y} dy + c$। खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $\int y e^{-y} dy = y(-e^{-y}) - \int 1(-e^{-y}) dy = -y e^{-y} - e^{-y} + c$। अतः, $x e^{-y} = -y e^{-y} - e^{-y} + c$। $e^y$ से गुणा करने पर: $x = -y - 1 + c e^y$। पुनर्व्यवस्थित करने पर: $x + y + 1 = c e^y$।

अवकल समीकरण $(x + y) \frac{dy}{dx} = 1$ का व्यापक हल है

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