निम्नलिखित रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या को आलेखीय विधि से हल कीजिए:
अधिकतम कीजिए $Z = 4x + y$......$(1)$
अवरोधों के अंतर्गत:
${x + y \leqslant 50}$.......$(2)$
${3x + y \leqslant 90}$......$(3)$
${x \geqslant 0, y \geqslant 0}$......$(4)$

उद्देश्य फलन $z = 4x + 6y$ का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए,जो प्रतिबंधों $x + 2y \geq 80$,$3x + y \geq 75$ और $x, y \geq 0$ के अधीन है:

एक कुटीर उद्योग पेडस्टल लैंप और लकड़ी के शेड का निर्माण करता है,जिनमें से प्रत्येक के लिए ग्राइंडिंग/कटिंग मशीन और स्प्रेयर के उपयोग की आवश्यकता होती है। एक पेडस्टल लैंप बनाने में ग्राइंडिंग/कटिंग मशीन पर $2 \text{ घंटे}$ और स्प्रेयर पर $3 \text{ घंटे}$ का समय लगता है। एक शेड बनाने में ग्राइंडिंग/कटिंग मशीन पर $1 \text{ घंटा}$ और स्प्रेयर पर $2 \text{ घंटे}$ का समय लगता है। किसी भी दिन,स्प्रेयर अधिकतम $20 \text{ घंटे}$ और ग्राइंडिंग/कटिंग मशीन अधिकतम $12 \text{ घंटे}$ के लिए उपलब्ध है। एक लैंप की बिक्री से लाभ $Rs. 5$ है और एक शेड से लाभ $Rs. 3$ है। यह मानते हुए कि निर्माता अपने द्वारा उत्पादित सभी लैंप और शेड बेच सकता है,उसे अपने लाभ को अधिकतम करने के लिए अपने दैनिक उत्पादन को कैसे निर्धारित करना चाहिए?

दो गोदामों $A$ और $B$ की अनाज भंडारण क्षमता क्रमशः $100$ क्विंटल और $50$ क्विंटल है। वे $3$ राशन दुकानों $D, E$ और $F$ को आपूर्ति करते हैं,जिनकी आवश्यकता क्रमशः $60, 50$ और $40$ क्विंटल है। गोदामों से दुकानों तक प्रति क्विंटल परिवहन लागत निम्नलिखित तालिका में दी गई है:

प्रति क्विंटल परिवहन लागत (रुपये में)
से/तक $A$ $B$
$D$ $6$ $4$
$E$ $3$ $2$
$F$ $2.50$ $3$

परिवहन लागत को न्यूनतम रखने के लिए आपूर्ति कैसे की जानी चाहिए? न्यूनतम लागत क्या है?

$Z = 5x + 2y$ का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए,जो निम्नलिखित अवरोधों के अधीन है: $2x - y \geq 2$,$x + 2y \leq 8$,और $x, y \geq 0$.

लागत फलन $Z$,$Z = 4x + 6y$ द्वारा दिया गया है। इसे न्यूनतम करना है। इस फलन $Z$ के लिए सुसंगत क्षेत्र निम्नलिखित आकृति में छायांकित क्षेत्र द्वारा दर्शाया गया है। तब $Z$ का न्यूनतम मान और वह बिंदु जहाँ यह प्राप्त होता है,है: